03、什么是大O复杂度表示法？如何理解时间复杂度和空间复杂度？

### 考点分析
通常我们需要一种方法来对不同的算法来进行比较，一般来说，解决同样的问题有多种算法，那么在不同的客观条件下如何对不同的算法进行取舍呢？

### 典型回答
算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下， 用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？ 这里有段非常简单的代码，求 1,2,3…n 的累加和。现在，我就带你一块来估算一下这段代 码的执行时间。
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从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管 每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基 础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time。可 以看出来，所有代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数成正比。 按照这个分析思路，我们再来看这段代码。

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我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n)是多少呢？ 第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n2 遍，所以需 要 2n2 * unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数 n 成正 比。我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

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我来具体解释一下这个公式。其中，T(n)我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示 数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n)来表示。 公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n)与 f(n)表达式成正比。 所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。

大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行 时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度 （asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并 不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以 了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)；T(n) = O(n2)。
### 扩展知识
#### 时间复杂度分析方法
1.只关注循环执行次数最多的一段代码：大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、 系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。

所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次 数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。为了便于你理解，我还拿前面的例子来说明。

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其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。 循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面 我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

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这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间， 跟n的规模无关。 这里我要再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。

尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n)和 O(n2)，你应该能容易就分析出来，我就不啰嗦了。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间 复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是： 如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))。

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)). 也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码 上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，我举个例子给你解释一下。
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我们单独看 cal()函数。假设 f()只是一个普通的操作，那第4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个cal()函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

常见情况时间复杂度：

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#### 空间复杂度分析方法
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类 比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂 度（asymptotic space complexity），表示算 法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

具体例子说明：
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跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第2行代码中，我们申请了一个空间存储变量i， 但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第3行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整 段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。 所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

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