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# PID控制和前馈补偿

[TOC]

一般来讲，可以将控制器简单的分为两个类型，分别是**反馈控制器**和**前馈控制器**。一般来讲被控对象偏离实际是因为现实中存在着各种各样的扰动，如果我们能完美的观察这些扰动，并在扰动产生作用之前让控制器进行补偿，就可以实现完美的无差控制；但是这样太难了，甚至是无法做到的，因此几乎不存在单纯的前馈控制，我们常常会使用前馈控制改善被控对象，让他“更好控制”。或者还可以在扰动在被控对象上产生了效果（或者说误差后）再根据误差进行控制，这就是我们常常所说的反馈控制。像是PID控制器就是一种典型的反馈控制器，它观测被控对象当前的状态和目标值之间的误差来产生控制的输出值；反馈控制更加简单和鲁棒，但是需要注意到的是，反馈控制是误差驱动的，因此反馈控制无法做到无差控制。

## 1 简单的PID算法

如下图所示，是一个简单的pid控制器的框图：

PID控制器的**比例单元（P）**、**积分单元（I）**和**微分单元（D**）分别对应**目前误差**、**过去累计误差**及**未来误差**。

若是不知道受控系统的特性，一般认为PID控制器是最适用的控制器[[2\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/PID控制器#cite_note-ben93p48-2)。借由调整PID控制器的三个参数，可以调整控制系统，设法满足设计需求。控制器的响应可以用控制器对误差的c反应快慢、控制器过冲的程度及系统震荡的程度来表示。不过使用PID控制器不一定保证可达到系统的最佳控制，也不保证系统稳定性。

一个PID控制回路主要有设定的目标值、PID计算模块和被控对象三个部分组成。控制器从传感器得到测量结果，然后用需求结果减去测量结果来得到误差。然后用误差来计算出一个对系统的纠正值来作为输入结果，这样系统就可以从它的输出结果中消除误差。在一个PID回路中，这个纠正值有三种算法，消除目前的误差，平均过去的误差，和透过误差的改变来预测将来的误差。一些控制系统把数个PID控制器串联起来，或是连成网络。这样的话，一个主控制器可能会为其他控制输出结果。一个常见的例子是马达的控制。控制系统会需要马达有一个受控的速度，最后停在一个确定的位置。可由一个子控制器用来管理速度，但是这个子控制器的速度是由控制马达位置的主控制器来管理的。

### 1.1 比例控制

比例控制考虑当前误差，误差值和一个正值的常数Kp（表示比例）相乘。Kp只是在控制器的输出和系统的误差成比例的时候成立。比如说，一个电热器控制器是在目标温度和实际温度差10°C时有100%的输出，而其目标值是25°C。那么它在15°C的时候会输出100%，在20°C的时候会输出50%，在24°C的时候输出10％，注意在误差是0的时候，控制器的输出也是0。

![img](README.assets/320px-PID_varyingP.jpg)

可以看到若比例增益大，在相同误差量下，会有较大的输出，但若比例增益太大，会使系统不稳定。相反的，若比例增益小，若在相同误差量下，其输出较小，因此控制器会较不敏感的。若比例增益太小，当有干扰出现时，其控制信号可能不够大，无法修正干扰的影响。

事实上为了方便理解，可以将pid控制器与一个弹簧阻尼系统向类比，PID控制器中P与弹簧阻尼系统中弹簧的左右相当，可以认为P的值越大与之相同的弹簧阻尼系统中弹簧的刚度越大。有趣的是，如果被控对象是一个完美没有任何耗散力项的（没有阻尼的），那么单传的P控制会导致系统等幅震荡，这时需要通过微分控制来修正。如果系统在平衡点处会受到一个恒定的力的影响，则单纯的P控制则会由一个稳定误差，此时需要 通过积分控制来修正。

### 1.2 积分控制

积分控制考虑过去误差，将误差值过去一段时间和（误差和）乘以一个正值的常数Ki。Ki从过去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差。一个简单的比例系统会震荡，会在预定值的附近来回变化，因为系统无法消除多余的纠正。通过加上负的平均误差值，平均系统误差值就会渐渐减少。所以，最终这个PID回路系统会在设定值稳定下来。

![img](README.assets/320px-Change_with_Ki.png)

积分控制会加速系统趋近设定值的过程，并且消除纯比例控制器会出现的稳态误差。积分增益越大，趋近设定值的速度越快，不过因为积分控制会累计过去所有的误差，可能会使回授值出现过冲的情形。如果控制系统在稳定状态下受到了一个很定力的干扰，那么积分控制器会因为纯P控制下产生的稳定误差而逐渐积累，产生更大的控制力，最终实现无误差的控制。

### 1.3 微分控制

微分控制考虑将来误差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数Kd相乘。这个导数的控制会对系统的改变作出反应。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反应。这个Kd参数也是PID被称为可预测的控制器的原因。Kd参数对减少控制器短期的改变很有帮助。一些实际中的速度缓慢的系统可以不需要Kd参数。

可以将微分控制器理解为施加在系统上的阻尼，可以将其抽象的理解为一种耗散力，它会将系统运动中所贮存的能量转换为虚拟的热能，最终让系统能稳定的停下来。显而易见微分控制能很好的改善控制系统的性能，让系统更快的到达目标。也就是说微分控制可以增加系统的调节实践和稳定性。但是微分控制是一个非因果系统。这很好理解，它的傅里叶比那换形式如下：
$$
\mathcal{F}[K_d\frac{d}{dt}e(t)] = wE(w)
$$
这是一个高通滤波器，他会放大误差的（或者说测量的）高频噪声，而真实世界中的测量不可能是没有噪声的，过大的微分控制器会导致观测的噪声被放大，造成系统的不稳定。这也是在整定pid参数时如果微分控制器参数过大时系统会高频振动的原因。一般来讲，会为微分控制加上一个低通滤波器以限制高频增益及噪声。

### 1.4 代码实现

```C
float pid_output, error sum_error, last_error;
float kp, ki, kd;
float target, presnt;

error = target - present;
sum_error += error;

pid_output =  kp * error 
              + ki * sum_error
              + kd * (error - last_error);

last_error = error;
```

## 2. PID的改进算法

无法否认的是，PID控制器是一个十分可靠且鲁棒的控制算法，但是面对一些复杂问题是总是会有些力不从心，因此针对这些问题人们提出了一些对PID算法的改进。改进的办法很多，我们只详细的叙述其中的两种。

### 2.1 积分分离的PID控制器

观察积分器的作用，不难发现，在到达目标之前的上升段积分控制并没有产生我们所希望的作用；他会在这一段时间中大量积累，在达到控制目标时积分依然积累的很大的值，这就会导致很大的过冲。那么显而易见的，可以让积分器只在目标值附近产生作用，就可以较好的解决这个问题了。
$$
U(k)=K_pe(k)+\beta k_i \sum^k_{j=0}e(k)+k_d(e(k)-e(k-1))
$$
其中有：
$$
\beta=
	\left\{
		\begin{matrix}
			1 & |e(k)|<\epsilon \\
			0 & |e(k)|>\epsilon \\
		\end{matrix}
	\right.
$$
这个代码实现也非常简单，具体如下：

```c
float pid_output, error sum_error, last_error;
float kp, ki, kd, epsilon;
float target, presnt;

error = target - present;
sum_error += error;

if(fabs(error) > epsilon)
{
    pid_output =  kp * error
                  + kd * (error - last_error);
    sum_error = 0;
} else {
    pid_output =  kp * error
                  + ki * sum_error
                  + kd * (error - last_error);
}

last_error = error;
```

### 2.2 串级PID控制

除去传统的PID控制外，还可以将二个PID控制器可以组合在一起，得到较佳的效果，这称为串级PID控制。以两个PID控制器组成的串级PID控制为例，其中一个PID控制器在外回路，控制像液面高度或是速度等主要的物理量，另一个PID控制器是内回路，以外回路PID控制器的输出做为其目标值，一般是控制较快速变化的参数，例如流量或加速度等。若利用串级PID控制，可以增加控制器的工作频率，并降低其时间常数。

一般来讲串级PID在电机控制上十分常用。

## 3. 使用前馈器来改进PID算法

在进行控制时，我们有时总是要面对一些不那么完美的系统，有的系统在两个运动方向上的复杂差异巨大；有的系统有着巨大的阻尼，这往往会导致PID参数整定变得困难，即便整定好参数后也很难保证控制器有足够好的性能和稳定性。这里举两个简单的例子，来使用前馈器来改善PID反馈控制器的性能。

### 3.1 重力补偿前馈

对于形如云台的被控对象，其输入为控制pitch轴角度的力矩$T$，控制目标为pitch轴角度$\theta$。如果只使用简单的PID控制器，由于云台重心不在转轴轴线上，这回让其产生一个恒定的偏差。如果想要实现在控制结束时没有偏差，则需要一个足够大的积分项来补偿。但是过大的积分项则难免会带来一定的超调，让控制系统的性能下降。

那么换一个视角，实际上由于重心不在转轴上以至于重力产生的偏转力矩就是一种扰动，我们可以简单的观测到这种扰动，并在系统产生偏差之前将其补偿。我们可以很容易的写出重力所产生的偏转力矩：
$$
T = mgl\cos(\theta)
$$

只需要将该力矩在控制的同时加到控制器的输入上，即可实现一个足够可靠的前馈控制。

### 3.2 目标响应前馈

在进行反馈控制时，控制系统并不知道我们的控制目标时怎样的。在对控制目标做处理时，反馈控制将输入的目标的变化与反馈的的变化做相同的处理。因此我们可以将输入目标的变化同样作为一种扰动来处理，幸运的时，这个扰动我们时完全已知的。不难想到，对于目标的响应我们同样可以使用前馈来优化控制器性能。

先来考虑一个典型的反馈控制器：

![undefined](images/Feed_back.jpg)

可以写出其误差传递函数$E(s)$形式如下：
$$
E(s) = \frac{1-G_fGG_b(s)}{1+G_cGG_b(s)}
$$
如果我们希望系统的误差为0，即实现无差控制，完全跟随系统的输入变化，则需要有：
$$
E(s) = 0
$$
即：
$$
G_fGG_b(s) = 1
$$
其中各个参数的含义如下：

| 传递函数 | 含义                                               |
| -------- | -------------------------------------------------- |
| $G(s)$   | 被控对象的传递函数                                 |
| $G_f(s)$ | 前馈传递函数                                       |
| $G_b(s)$ | 反馈回路的传递函数，一般认为是反馈观测器的传递函数 |

一般来讲$G_b(s)=1$，则有：
$$
G_f(s)=\frac{1}{G(s)}
$$
那么对于上面的云台控制系统而言，很容易写出反应其微分方程如下：
$$
J\ddot{\theta} = mgl\cos\theta +  T
$$
其中$J$为云台在旋转方向的惯量，将其线性化后，有：
$$
J\ddot{\theta} = mgl +  T
$$
对其Laplace变换，并整理成传递函数的形式，则有：
$$
G(s)=\frac{\theta(s)}{T(s)}=\frac{1}{Js^2}
$$
因此，对其设计的前馈控制器为：
$$
G_f(s)=\frac{1}{G(s)}=Js^2
$$
将其写为离散形式，则为对输入求两阶微分并乘转动惯量后与反馈控制器相加，一并输出。

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